Funktionen/Abbildungen


Eine Funktion (auch Abbildung genannt) ist eine linkstotale, rechtseindeutige Relation. Konkret ist diese Relation eine Teilmenge des kartesischen Produkts zweier Mengen A und B. Wobei die Menge A der Definitionsbereich ist und die Menge B der Wertebereich.
  • Eine rechtstotale Funktion heißt surjektiv.
  • Eine linkseindeutige Funktion heißt injektiv.
  • Eine surjektive und injektive Funktion heißt bijektiv.
y oder besser gesagt das Element f(x) nennt man den Funktionswert von f an der Stelle x. Man sagt auch dazu, dass dies das Bild von x ist. Im Gegenzug dazu ist x das Urbild von f(x).

Man unterscheidet zwischen totale Funktionen und partielle Funktionen. Sei eine Funktion gegeben mit f: M → N. Dann ist die Funktion total, wenn für jedes x ∈ M ein Bild von x, also f(x) ∈ N existiert. Die Funktion ist hingegen dann partiell, wenn sie für mindestens ein x ∈ M undefiniert ist.Dies wäre beispiesweise bei f(x)=1/x an der Stelle 0 der Fall, da man durch 0 eigentlich nicht teilen darf. Man verzichtet also bei partielle Funktionen auf die Linkstotalität.

Anbei noch ausführliche Informationen zur Surjektivität, Injektivität und Bijektivität bei Funktionen.

Surjektivität

Eine rechtstotale Funktion wird auch surjektiv genant. Eine Funktion f: M → N ist genau dann surjektiv, wenn für alle y ∈ N ein x ∈ M mit f(x)=y existiert. Stellt man sich die Menge einmal grafisch vor, dann liegt Surjektivität genau dann vor, wenn an jedem Element der rechten Menge (Zielmenge) mindestens ein Pfeil ankommt. Bei surjektiven Funktionen wird die Zielmenge also vollkommen ausgeschöpft.

Anbei ein Beispiel einer surjektiven aber nicht injektiven Funktion.
Beispiel einer surjektiven aber nicht injektiven Funktion

Injektivität

Eine linkseindeutige Funktion wird auch injektiv genannt. Eine Funktion f: M → N ist genau dann injektiv, falls aus f(x) = f(y) stets x=y folgt. Das heißt das jedes Element der Zielmenge höchstens ein Urbild hat. Dies Eigenschaft ermöglicht aus einer Abbildung f ihre Umkehrabbildung f-1 zu konsruieren. Mit dieser Umkehrabbildung kann jedem Element f(x) sein Urbild x zugeordnet werden. Deswegen spricht man bei injektiven Funktionen auch von umkehrbaren Funktionen.

Anbei ein Beispiel einer injektiven aber nicht surjektiven Funktion.
Beispiel einer injektiven aber nicht surjektiven Funktion.

Bijektivität

Ist eine Funktion injektiv (linkseindeutig) und surjektiv (rechtstotal) dann wird sie auch bijektiv genannt. Bijektivität ist im Grunde genommen nichts anderes als eine Eins-zu-Eins-Zuordnung. Für jedes Element aus dem Definitionsbereich existiert genau ein Element aus dem Zielbereich.

Anbei ein Beispiel einer surjektiven und injektiven Funktion, also einer bijektiven Funktion.
Beispiel einer bijektive Funktion




Quellen:

Zitat:



Edsger Wybe Dijkstra:

"Als es noch keine Computer gab, gab es auch das Programmieren als Problem nicht. Als es dann ein paar leistungsschwache Computer gab, wurde das Programmieren zu einem kleinen Problem und nun, wo wir leistungsstarke Computer haben, ist auch das Programmieren zu einem riesigen Problem angewachsen. In diesem Sinne hat die elektronische Industrie kein einziges Problem gelöst, sondern nur neue geschaffen." - The Humble Programmer, ACM Turing Lecture 1972